Lineare Algebra Beispiele

$[\begin{array}{c} 2 - 1 i \\ 3 + 1 i \\ 3 + 4 i \end{array}]$

Schritt 1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$\sqrt{{| 2 - 1 i |}^{2} + {| 3 + 1 i |}^{2} + {| 3 + 4 i |}^{2}}$

Schritt 2

Vereinfache.

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Schritt 2.1

Schreibe $- 1 i$ als $- i$ um.

$\sqrt{{| 2 - i |}^{2} + {| 3 + 1 i |}^{2} + {| 3 + 4 i |}^{2}}$

Schritt 2.2

Wende die Formel $| a + b i | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ an, um den Betrag zu bestimmen.

$\sqrt{{\sqrt{2^{2} + {(- 1)}^{2}}}^{2} + {| 3 + 1 i |}^{2} + {| 3 + 4 i |}^{2}}$

Schritt 2.3

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\sqrt{{\sqrt{4 + {(- 1)}^{2}}}^{2} + {| 3 + 1 i |}^{2} + {| 3 + 4 i |}^{2}}$

Schritt 2.4

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$\sqrt{{\sqrt{4 + 1}}^{2} + {| 3 + 1 i |}^{2} + {| 3 + 4 i |}^{2}}$

Schritt 2.5

Addiere $4$ und $1$ .

$\sqrt{{\sqrt{5}}^{2} + {| 3 + 1 i |}^{2} + {| 3 + 4 i |}^{2}}$

Schritt 2.6

Schreibe ${\sqrt{5}}^{2}$ als $5$ um.

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Schritt 2.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{5}$ als $5^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\sqrt{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2} + {| 3 + 1 i |}^{2} + {| 3 + 4 i |}^{2}}$

Schritt 2.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{5^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {| 3 + 1 i |}^{2} + {| 3 + 4 i |}^{2}}$

Schritt 2.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\sqrt{5^{\frac{2}{2}} + {| 3 + 1 i |}^{2} + {| 3 + 4 i |}^{2}}$

Schritt 2.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sqrt{5^{\frac{2}{2}} + {| 3 + 1 i |}^{2} + {| 3 + 4 i |}^{2}}$

Schritt 2.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\sqrt{5^{1} + {| 3 + 1 i |}^{2} + {| 3 + 4 i |}^{2}}$

Schritt 2.6.5

Berechne den Exponenten.

$\sqrt{5 + {| 3 + 1 i |}^{2} + {| 3 + 4 i |}^{2}}$

Schritt 2.7

Mutltipliziere $i$ mit $1$ .

$\sqrt{5 + {| 3 + i |}^{2} + {| 3 + 4 i |}^{2}}$

Schritt 2.8

Wende die Formel $| a + b i | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ an, um den Betrag zu bestimmen.

$\sqrt{5 + {\sqrt{3^{2} + 1^{2}}}^{2} + {| 3 + 4 i |}^{2}}$

Schritt 2.9

Potenziere $3$ mit $2$ .

$\sqrt{5 + {\sqrt{9 + 1^{2}}}^{2} + {| 3 + 4 i |}^{2}}$

Schritt 2.10

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\sqrt{5 + {\sqrt{9 + 1}}^{2} + {| 3 + 4 i |}^{2}}$

Schritt 2.11

Addiere $9$ und $1$ .

$\sqrt{5 + {\sqrt{10}}^{2} + {| 3 + 4 i |}^{2}}$

Schritt 2.12

Schreibe ${\sqrt{10}}^{2}$ als $10$ um.

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Schritt 2.12.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{10}$ als $10^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\sqrt{5 + {(10^{\frac{1}{2}})}^{2} + {| 3 + 4 i |}^{2}}$

Schritt 2.12.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{5 + 10^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {| 3 + 4 i |}^{2}}$

Schritt 2.12.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\sqrt{5 + 10^{\frac{2}{2}} + {| 3 + 4 i |}^{2}}$

Schritt 2.12.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.12.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sqrt{5 + 10^{\frac{2}{2}} + {| 3 + 4 i |}^{2}}$

Schritt 2.12.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\sqrt{5 + 10^{1} + {| 3 + 4 i |}^{2}}$

Schritt 2.12.5

Berechne den Exponenten.

$\sqrt{5 + 10 + {| 3 + 4 i |}^{2}}$

Schritt 2.13

Wende die Formel $| a + b i | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ an, um den Betrag zu bestimmen.

$\sqrt{5 + 10 + {\sqrt{3^{2} + 4^{2}}}^{2}}$

Schritt 2.14

Potenziere $3$ mit $2$ .

$\sqrt{5 + 10 + {\sqrt{9 + 4^{2}}}^{2}}$

Schritt 2.15

Potenziere $4$ mit $2$ .

$\sqrt{5 + 10 + {\sqrt{9 + 16}}^{2}}$

Schritt 2.16

Addiere $9$ und $16$ .

$\sqrt{5 + 10 + {\sqrt{25}}^{2}}$

Schritt 2.17

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$\sqrt{5 + 10 + {\sqrt{5^{2}}}^{2}}$

Schritt 2.18

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\sqrt{5 + 10 + 5^{2}}$

Schritt 2.19

Potenziere $5$ mit $2$ .

$\sqrt{5 + 10 + 25}$

Schritt 2.20

Addiere $5$ und $10$ .

$\sqrt{15 + 25}$

Schritt 2.21

Addiere $15$ und $25$ .

$\sqrt{40}$

Schritt 2.22

Schreibe $40$ als $2^{2} \cdot 10$ um.

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Schritt 2.22.1

Faktorisiere $4$ aus $40$ heraus.

$\sqrt{4 (10)}$

Schritt 2.22.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\sqrt{2^{2} \cdot 10}$

Schritt 2.23

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$2 \sqrt{10}$

Schritt 3

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$2 \sqrt{10}$

Dezimalform:

$6.32455532 \dots$